http://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_выбора Аксиома выбора[править] Материал из Википедии — свободной энциклопедииАксиомой выбора (Axiom of choice) называется следующее высказывание теории множеств: Аксиома выбора утверждает: «Для каждого семейства непустых непересекающихся множеств существует (по меньшей мере одно) множество d, которое имеет только один общий элемент c c каждым из множеств b данного семейств a.» Аксиома выбора принимается не всеми математиками безоговорочно: некоторые относятся к ней с недоверием. Бытует мнение, что доказательства, полученные с привлечением этой аксиомы, имеют иную познавательную ценность, чем доказательства, независимые от неё. Основано оно, прежде всего, на том, что утверждается лишь существование множества d, но не дается никакого способа его определения — отсюда неэффективность в случае бесконечных множеств. Это мнение, например, Бореля и Лебега. Противоположного мнения придерживались, например, Хаусдорф и Френкель (англ.), которые принимали аксиому выбора без всяких оговорок, признавая за ней ту же степень «очевидности», что и за другими аксиомами теории множеств: аксиома объёмности, аксиома существования пустого множества, аксиома пары, аксиома суммы, аксиома степени,аксиома бесконечности. Более того, среди следствий аксиомы выбора есть много довольно специфичных: например, появляется возможность доказать парадокс Банаха — Тарского, который вряд ли можно считать «очевидным». Подробный анализ многочисленных доказательств, использующих аксиому выбора, провел Вацлав Серпинский. Однако, без сомнения, многие важные математические открытия нельзя было бы сделать безаксиомы выбора[1].
[править]Альтернативные формулировкиАксиома выбора утверждает:
Функция выбора — функция на множестве множеств X такая, что для каждого множества s в X, f(s) является элементом из s. С использованием понятия функции выбора аксиома утверждает:
Или альтернативно:
Или наиболее сжато:
Отсюда немедленно следует компактная формулировка отрицания аксиомы выбора:
Вторая версия аксиомы выбора утверждает:
Некоторые авторы используют другую версию, которая эффективно утверждает:
Авторы, которые используют эту формулировку, часто также говорят о «функции выбора на A», но оговаривают, что имеют ввиду немного другое понятие функции выбора. Её область определения — булеан (минус пустое подмножество), тогда как в других местах этой статьи, область определения функции выбора — «множество множеств». С этим дополнительным понятием функции выбора, аксиома выбора может быть сжато сформулирована так:
[править]ПрименениеДо конца XIX века аксиома выбора использовалась безоговорочно. Например, после определения множества Xсодержащего непустое множество, математик мог сказать: «Пусть F(s) будет определено для каждого s из X». В общем, невозможно доказать, что F существует без аксиомы выбора, но это, кажется, оставалось без внимания до Цермело. Не во всех случаях требуется аксиома выбора. Для конечного набора X, аксиома выбора следует из других аксиом теории множеств. В этом случае это то же самое, что говорить, если мы имеем несколько (конечное число) коробок, каждая из которых содержит в себе по одной одинаковой вещи, тогда мы можем выбрать ровно одну вещь из каждой коробки. Ясно, что мы можем сделать это: мы начнём с первой коробки, выберем вещь; отправимся ко второй коробке, выберем вещь; и т. д. Так как есть конечное число коробок, то действуя нашей процедурой выбора, мы придём к концу. Результатом будет функция явного выбора: функция, которая первой коробке сопоставляет первый элемент, который мы выбрали, второй коробке — второй элемент и т. д. (Для получения формального доказательства для всех конечных множеств следует воспользоваться принципом математической индукции). В случае с бесконечным множеством X иногда также можно обойти аксиому выбора. Например, если элементыX — множества натуральных чисел. Каждый непустой набор натуральных чисел имеет наименьший элемент, таким образом, определяя нашу функцию выбора, мы можем просто сказать, что каждому множеству сопоставляется наименьший элемент набора. Это даёт нам сделать выбор элемента из каждого множества, поэтому мы можем записать явное выражение, которое говорит нам, какое значение наша функция выбора принимает. Если возможно таким образом определить функцию выбора, в аксиоме выбора нет необходимости. Сложности появляются в случае, если невозможно осуществить естественный выбор элементов из каждого множества. Если мы не можем сделать явный выбор, то почему уверены, что такой выбор можно совершить в принципе? Например, пусть X — это множество непустых подмножеств действительных чисел. Во-первых, мы могли бы поступить как в случае, если бы X было конечным. Если мы попробуем выбрать элемент из каждого множества, тогда, так как X бесконечно, наша процедура выбора никогда не придёт к концу, и вследствие этого мы никогда не получим функции выбора для всего X. Так что это не срабатывает. Далее, мы можем попробовать определить наименьший элемент из каждого множества. Но некоторые подмножества действительных чисел не содержат наименьший элемент. Например, таким подмножеством является открытый интервал Причина, которая позволяет выбрать нам наименьший элемент из подмножества натуральных чисел — это факт, что натуральные числа обладают свойством вполнеупрорядоченности. Каждое подмножество натуральных чисел имеет единственный наименьший элемент в силу естественной упорядоченности. Возможно, если бы мы были умнее, то могли бы сказать: «Возможно, если обычный порядок для действительных чисел не позволяет найти особое (наименьшее) число в каждом подмножестве, мы могли бы ввести другой порядок, который таки давал бы свойство вполнеупорядоченности. Тогда наша функция сможет выбрать наименьший элемент из каждого множества в силу нашего необычного упорядочивания». Проблема тогда возникает в этом построении вполнеупорядоченности, которая для своего решения требует наличия аксиомы выбора. Иными словами, каждое множество может быть вполне упорядочено тогда и только тогда, когда аксиома выбора справедлива. Доказательства, требующие аксиомы выбора, всегда неконструктивны: даже если доказательство создаёт объект, невозможно сказать, что же именно это за объект. Следовательно, хоть аксиома выбора позволяет вполне упорядочить множество действительных чисел, это не даёт нам никакой наглядности и конструктивизма в целом. Сама причина, по которой наш вышеуказанный выбор вполне упорядочения действительных чисел был таким для каждого множества X, мы могли явно выбрать элемент из такого множества. Если мы не можем указать, что мы используем вполне упорядоченность, тогда наш выбор не вполне явный. Это одна из причин, почему некоторые математики не любят аксиому выбора. Например, конструктивистская установка что все существующие доказательства должны быть полностью явными; должно быть возможным построение чего бы то ни было что существует. Они отвергают аксиому выбора потому, что она заявляет существование объекта без описания, что это такое. С другой стороны, ничтожный факт — что для доказательства существования используется аксиома выбора — не означает, что мы не сможем совершить построение другим способом. [править]Принцип вполне упорядочивания (теорема Цермело)Очень распространённая и удобная формулировка использует понятие вполне упорядоченного множества. Нам потребуется несколько определений, и мы начнём со строгого определения линейного порядка, выражающего знакомую нам идею на языке теории множеств. Напомним, что упорядоченная пара элементов обозначается
Принцип полного порядка заключается в том, что любое множество может быть вполне упорядочено. Например, множество натуральных чисел может быть вполне упорядоченно обычным отношением «меньше или равно чем». С тем же отношением, множество целых чисел не имеет наименьшего элемента. В этом случае мы можем собрать целые числа в последовательность Гораздо менее очевидно, что действительные числа, формирующие несчётное множество, могут быть вполне упорядочены. [править]Лемма Цорна
Более формально:
[править]Принцип максимума Хаусдорфа
[править]См. также[править]Примечания[править]Литература
|
Math >