Достаточно полезный и содержательный ресурс, особенно для Артура! http://multifractal.narod.ru/ Теория фракталов РАЗМЕРНОСТЬ ХАУСДОРФА dH (ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ)
Как уже говорилось, точка имеет размерность равную нулю, отрезок, окружность, вообще любая обычная кривая на плоскости или в пространстве - размерность 1, круг, сфера - двумерны, тела - трехмерны. Во всех перечисленных случаях размерность равна числу независимых переменных, необходимых для того, чтобы задать точку на рассматриваемом объекте. Однако смысл понятия ''размерность'' шире. Оно характеризует более ''тонкие'' топологические свойства объектов и совпадает с числом независимых переменных, необходимых для описания объекта, только в частных случаях. С одномерными объектами мы связываем понятие длины, с двумерными площади и т.д. Но как можно представить себе множество с размерностью 3/2? По видимому, для этого требуется нечто промежуточное между длиной и площадью, и если длину условно назвать 1-мерой, а площадь - 2-мерой, то требуется (3/2)-мера. В 1919 году Феликс Хаусдорф действительно определил такую Рассмотрим известные выражения для длины, площади и объема шара в евклидовом пространстве. Диаметр (длина) шара радиуса ![]() ![]() ![]() ![]() Первый шаг в построении теории дробной размерности состоит в определении ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Следующий шаг заключается в переносе понятия
Просуммируем их объемы: ![]() Определение. ![]() или Например, если При Определение. Фрактальной ![]() Часто бывает: ![]() Безикович показал, что для каждого Если В общем случае замкнутого ограниченного множества ![]() Определение. Число ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Например, для Вернемся теперь к формуле (4): ![]() Прологарифмируем обе части: ![]() или ![]() Для большинства ''хороших'' объектов, пространств, множеств ![]() ![]() ![]() Главная - Введение - Основные понятия - Размерности - Самоподобие Л-системы - СИФ (IFS) - Мультифракталы - Комплексная динамика - Фракталы и хаос Чтиво - Фракталы в Интернете - Программы - Галерея - Скачать - В заключение |