Math‎ > ‎Хаусдорф‎ > ‎

Фракталы

Достаточно полезный и содержательный ресурс, особенно для Артура!
http://multifractal.narod.ru/  Теория фракталов

РАЗМЕРНОСТЬ ХАУСДОРФА  d(ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ)

 

Как уже говорилось, точка имеет размерность равную нулю, отрезок, окружность, вообще любая обычная кривая на плоскости или в пространстве - размерность 1, круг, сфера - двумерны, тела - трехмерны. Во всех перечисленных случаях размерность равна числу независимых переменных, необходимых для того, чтобы задать точку на рассматриваемом объекте. Однако смысл понятия ''размерность'' шире. Оно характеризует более ''тонкие'' топологические свойства объектов и совпадает с числом независимых переменных, необходимых для описания объекта, только в частных случаях. С одномерными объектами мы связываем понятие длины, с двумерными площади и т.д. Но как можно представить себе множество с размерностью 3/2? По видимому, для этого требуется нечто промежуточное между длиной и площадью, и если длину условно назвать 1-мерой, а площадь - 2-мерой, то требуется (3/2)-мера. В 1919 году Феликс Хаусдорф действительно определил такую $\alpha$-меру для любого $\alpha\geq0, (\alpha\in {\cal R})$ и на этой основе каждому множеству в евклидовом пространстве сопоставил число, названное им метрической размерностью. Идеи Хаусдорфа, не опубликовавшего больше ни одной работы, в этом направлении, были развиты А.С. Безиковичем, который длительное время был автором или соавтором практически всех работ по данной тематике. В последующие годы размерность Хаусдорфа-Безиковича получила применение в некоторых узких областях математики, но ничто не предвещало той популярности этого понятия за пределами математики, которая сейчас наблюдается.

Рассмотрим известные выражения для длины, площади и объема шара в евклидовом пространстве. Диаметр (длина) шара радиуса $r$ в ${\cal R}^1$, составляет $2r$. Площадь шара в ${\cal R}^2$равна $\pi r^2$. Объём в ${\cal R}^3$ равен $\displaystyle\frac43\pi r^3$. Сответствующие формулы в евклидовом пространстве любого целого числа измерений хорошо известны:

\begin{displaymath}V_d=\gamma(d)\cdot r^d, d=1, 2, 3,\ldots \eqno(1)\end{displaymath}
где $\displaystyle\gamma(d)={\Gamma\left(\frac12\right)^d}/ {\Gamma\left(1+\frac12\right)}$, а $\Gamma(x)$ - гамма-функция Эйлера:
\begin{displaymath}\Gamma(x)=\int\limits_0^{\infty}e^{-t}\cdot t^{x-1}dt, x>0.\eqno(2)\end{displaymath}

Первый шаг в построении теории дробной размерности состоит в определении $d$-меры шара радиуса $r$ в ${\cal R}^n$,где $d$ - любое неотрицательное вещественное число. Это достигается путем распространения формулы (1) на все вещественные $d>0$. Например мера шара в $3/2$-мерном пространстве опредляется как $\gamma(3/2)\cdot r^{3/2}$.

Следующий шаг заключается в переносе понятия $d$-меры с шара на произвольное множество$A\subset{\cal R}^n$. Для этого построим покрытие $A$ множеством шаров $B_\varepsilon(x_i)$ (рис.). 

 

 

Просуммируем их объемы:

\begin{displaymath}\sum_{i=1}^M\gamma(d)\cdot\varepsilon^d.\eqno(3)\end{displaymath}

Определение. $\varepsilon$-фрактальной $d$-мерой множества называется число 

\begin{displaymath}\mu(A,d,\varepsilon)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\min\{M\}\cdot\varepsilon^d\equiv N(\varepsilon)\cdot\varepsilon^d \eqno(4)\end{displaymath}

или $\mu(A,d,\varepsilon)= \inf\{\sum\gamma(d)\cdot\varepsilon^d\vert$ всевозможным покрытиям множества $A\}$.

Например, если $A_1=[0,1]\in R^1$, то $N(\varepsilon)= \left[\displaystyle\frac{1}{2\varepsilon}\right]+1$.

При $\varepsilon\to0$ этот $\inf$ может только увеличиваться. Следовательно, всегда существует предел$\mu(A,d,\varepsilon)$ при $\varepsilon\to0$

Определение. Фрактальной $d$-мерной сферической мерой Хаусдорфа называется число 

\begin{displaymath}\mu_F(A,d)=\lim_{\varepsilon\to0}\sup\mu(A,d,\varepsilon) =\l... ...sup(\varepsilon^d\cdot N(\varepsilon))\equiv\mu_F(A,d).\eqno(5)\end{displaymath}

Часто бывает: 
\begin{displaymath}\mu_F=\lim_{\varepsilon\to0}\mu(A,d,\varepsilon).\eqno(6)\end{displaymath}

Безикович показал, что для каждого $X$ всегда существует число $d_H\in{\cal R}$, что $d$-мерная мера Хаусдорфа компакта $X$ бесконечна при $d<d_H$, и напротив равна 0, при $d>d_H$.

Если $A_1=[0,1]$, то при $d=1$,$\mu_F(A_1,1)=\lim_{\varepsilon\to0+} \varepsilon\cdot N(\varepsilon)=\lim_{\var... ...n\cdot(\left[\displaystyle\frac{1}{2\varepsilon}\right]+1)=\displaystyle\frac12$ В тоже время для $d>1$ $\mu_F(A_1,d)=\lim_{\varepsilon\to0+}\varepsilon^d\cdot(\left[\displaystyle\frac1{2\varepsilon}\right]+1)=0$. А для $d<1$$\mu_F(A_1,d)=\lim_{\varepsilon\to0+}\varepsilon^d\cdot(\left[\displaystyle\frac1{2\varepsilon}\right]+1)=+\infty$

В общем случае замкнутого ограниченного множества $A$ легко видеть, что если $\mu_F(A,d')$ 
$<+\infty$ , то $\mu_F(A,d)=0$ для любого $d>d'$. Если же $\mu_F(A,d)>0$, то для$\forall d<d'\Rightarrow\mu_F(A,d)=+\infty$. Следовательно, существует такое число $d_H\in[0,+\infty)$, что $\mu_F(A,d)=0$ при $d>d_H$ и $\mu_F(A,d)=+\infty$ $\forall d<d_H$, в то время как $\mu_F(A,d)$может быть любым числом из интервала $[0,+\infty]$. Очевидно,

\begin{displaymath}d_H=\inf\{d\}\vert\mu_F(A,d)=0. \eqno(7)\end{displaymath}

Определение. Число $d_H$, удовлетворяющее соотношению: $d_H=\inf\{d\vert\mu_F(A,d)=0\}$называется размерностью Хаусдорфа-Безиковича (метрической или фрактальной размерностью) множества $A$. Обозначается как $d, d_H$ или $d_F$. 

Например, для $A_1=[0,1]$ $\mu_F(A_1,d)=\left\{\begin{array}{lcl} 0, & &d>1;\\ +\infty, & & d<1;\\ \displaystyle\frac12, & & d=1.\\ \end{array} \right.$ Значит, $d_H(A_1)=1$.

Вернемся теперь к формуле (4):

\begin{displaymath}\mu(A,d,\varepsilon)=N(\varepsilon)\cdot\varepsilon^d\Rightarrow N(\varepsilon)=\frac{\mu}{\varepsilon^d}.\eqno(8)\end{displaymath}

Прологарифмируем обе части:

\begin{displaymath}\log N(\varepsilon)=\log\mu-\log\varepsilon^d\Rightarrow d=-\frac{\ln N(\varepsilon)}{\ln \varepsilon}.\eqno(9)\end{displaymath}

или

\begin{displaymath}d=d_H=\lim_{\varepsilon\to0}\frac{\ln N(\varepsilon)}{\displaystyle\ln\frac1\varepsilon}.\eqno(10)\end{displaymath}

Для большинства ''хороших'' объектов, пространств, множеств $dim$ и $d_H$ совпадают, однако существуют объекты для которых $dim<d_H$. Это и есть фракталы.




Comments