Фракталы

Достаточно полезный и содержательный ресурс, особенно для Артура!

http://multifractal.narod.ru/ Теория фракталов

http://multifractal.narod.ru/3dimantions/3hausdorf.htm

РАЗМЕРНОСТЬ ХАУСДОРФА d_H(ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ)

Как уже говорилось, точка имеет размерность равную нулю, отрезок, окружность, вообще любая обычная кривая на плоскости или в пространстве - размерность 1, круг, сфера - двумерны, тела - трехмерны. Во всех перечисленных случаях размерность равна числу независимых переменных, необходимых для того, чтобы задать точку на рассматриваемом объекте. Однако смысл понятия ''размерность'' шире. Оно характеризует более ''тонкие'' топологические свойства объектов и совпадает с числом независимых переменных, необходимых для описания объекта, только в частных случаях. С одномерными объектами мы связываем понятие длины, с двумерными площади и т.д. Но как можно представить себе множество с размерностью 3/2? По видимому, для этого требуется нечто промежуточное между длиной и площадью, и если длину условно назвать 1-мерой, а площадь - 2-мерой, то требуется (3/2)-мера. В 1919 году Феликс Хаусдорф действительно определил такую $\alpha$ -меру для любого $\alpha\geq0, (\alpha\in {\cal R})$ и на этой основе каждому множеству в евклидовом пространстве сопоставил число, названное им метрической размерностью. Идеи Хаусдорфа, не опубликовавшего больше ни одной работы, в этом направлении, были развиты А.С. Безиковичем, который длительное время был автором или соавтором практически всех работ по данной тематике. В последующие годы размерность Хаусдорфа-Безиковича получила применение в некоторых узких областях математики, но ничто не предвещало той популярности этого понятия за пределами математики, которая сейчас наблюдается.

Рассмотрим известные выражения для длины, площади и объема шара в евклидовом пространстве. Диаметр (длина) шара радиуса в ${\cal R}^1$ , составляет . Площадь шара в ${\cal R}^2$ равна $\pi r^2$ . Объём в ${\cal R}^3$ равен $\displaystyle\frac43\pi r^3$ . Сответствующие формулы в евклидовом пространстве любого целого числа измерений хорошо известны:

$\begin{displaymath}V_d=\gamma(d)\cdot r^d, d=1, 2, 3,\ldots \eqno(1)\end{displaymath}$

где $\displaystyle\gamma(d)={\Gamma\left(\frac12\right)^d}/ {\Gamma\left(1+\frac12\right)}$ , а $\Gamma(x)$ - гамма-функция Эйлера:

$\begin{displaymath}\Gamma(x)=\int\limits_0^{\infty}e^{-t}\cdot t^{x-1}dt, x>0.\eqno(2)\end{displaymath}$

Первый шаг в построении теории дробной размерности состоит в определении

-меры шара радиуса

в ${\cal R}^n$ ,где

- любое неотрицательное вещественное число. Это достигается путем распространения формулы (1) на все вещественные

. Например мера шара в

-мерном пространстве опредляется как $\gamma(3/2)\cdot r^{3/2}$ .

Следующий шаг заключается в переносе понятия -меры с шара на произвольное множество $A\subset{\cal R}^n$ . Для этого построим покрытие множеством шаров $B_\varepsilon(x_i)$ (рис.).

Просуммируем их объемы:

$\begin{displaymath}\sum_{i=1}^M\gamma(d)\cdot\varepsilon^d.\eqno(3)\end{displaymath}$

Определение. $\varepsilon$ -фрактальной -мерой множества называется число

$\begin{displaymath}\mu(A,d,\varepsilon)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\min\{M\}\cdot\varepsilon^d\equiv N(\varepsilon)\cdot\varepsilon^d \eqno(4)\end{displaymath}$

или $\mu(A,d,\varepsilon)= \inf\{\sum\gamma(d)\cdot\varepsilon^d\vert$ всевозможным покрытиям множества $A\}$ .

Например, если $A_1=[0,1]\in R^1$ , то $N(\varepsilon)= \left[\displaystyle\frac{1}{2\varepsilon}\right]+1$ .

При $\varepsilon\to0$ этот $\inf$ может только увеличиваться. Следовательно, всегда существует предел $\mu(A,d,\varepsilon)$ при $\varepsilon\to0$ .

Определение. Фрактальной -мерной сферической мерой Хаусдорфа называется число

$\begin{displaymath}\mu_F(A,d)=\lim_{\varepsilon\to0}\sup\mu(A,d,\varepsilon) =\l... ...sup(\varepsilon^d\cdot N(\varepsilon))\equiv\mu_F(A,d).\eqno(5)\end{displaymath}$

Часто бывает:

$\begin{displaymath}\mu_F=\lim_{\varepsilon\to0}\mu(A,d,\varepsilon).\eqno(6)\end{displaymath}$

Безикович показал, что для каждого всегда существует число $d_H\in{\cal R}$ , что -мерная мера Хаусдорфа компакта бесконечна при , и напротив равна 0, при .

Если , то при , $\mu_F(A_1,1)=\lim_{\varepsilon\to0+} \varepsilon\cdot N(\varepsilon)=\lim_{\var... ...n\cdot(\left[\displaystyle\frac{1}{2\varepsilon}\right]+1)=\displaystyle\frac12$ В тоже время для $\mu_F(A_1,d)=\lim_{\varepsilon\to0+}\varepsilon^d\cdot(\left[\displaystyle\frac1{2\varepsilon}\right]+1)=0$ . А для $\mu_F(A_1,d)=\lim_{\varepsilon\to0+}\varepsilon^d\cdot(\left[\displaystyle\frac1{2\varepsilon}\right]+1)=+\infty$

В общем случае замкнутого ограниченного множества легко видеть, что если $\mu_F(A,d')$
$<+\infty$ , то $\mu_F(A,d)=0$ для любого . Если же $\mu_F(A,d)>0$ , то для $\forall d<d'\Rightarrow\mu_F(A,d)=+\infty$ . Следовательно, существует такое число $d_H\in[0,+\infty)$ , что $\mu_F(A,d)=0$ при и $\mu_F(A,d)=+\infty$ $\forall d<d_H$ , в то время как $\mu_F(A,d)$ может быть любым числом из интервала $[0,+\infty]$ . Очевидно,

$\begin{displaymath}d_H=\inf\{d\}\vert\mu_F(A,d)=0. \eqno(7)\end{displaymath}$

Определение. Число , удовлетворяющее соотношению: $d_H=\inf\{d\vert\mu_F(A,d)=0\}$ называется размерностью Хаусдорфа-Безиковича (метрической или фрактальной размерностью) множества . Обозначается как или .

Например, для $\mu_F(A_1,d)=\left\{\begin{array}{lcl} 0, & &d>1;\\ +\infty, & & d<1;\\ \displaystyle\frac12, & & d=1.\\ \end{array} \right.$ Значит, .

Вернемся теперь к формуле (4):

$\begin{displaymath}\mu(A,d,\varepsilon)=N(\varepsilon)\cdot\varepsilon^d\Rightarrow N(\varepsilon)=\frac{\mu}{\varepsilon^d}.\eqno(8)\end{displaymath}$