Math‎ > ‎Хаусдорф‎ > ‎

Мера

http://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_Хаусдорфа

Мера Хаусдорфа

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Мера Хаусдорфа — собирательное название класса мер, определённых на борелевской σ-алгебре \mathcal{B}(X)метрического пространства X.

Содержание

 [убрать]

[править]Определение

Ф. Хаусдорф рассматривал[1] некоторый класс \mathcal{U} открытых подмножеств X, на котором определил неотрицательную функцию l=\{l(A)\mid A\in\mathcal{U}\} и

\lambda(B,\;\varepsilon)=\inf\left\{\sum_{i=1}^n l(A_i)\right\},

где нижняя грань берётся по всем конечным или счётным покрытиям борелевского множества B\subset Xмножествами из \mathcal{U} с диаметром, не превосходящим \varepsilon, то есть

B\subset\bigcup_{i=1}^n A_i\in\mathcal{U}

и

\mathrm{diam}\,A_i\leqslant\varepsilon,\quad n=1,\;2,\;\ldots

Мерой Хаусдорфа λ, определяемой классом \mathcal{U} и функцией l, называется предел

\lambda(B)=\lim_{\varepsilon\to 0}\lambda(B,\;\varepsilon).

[править]Примеры

  1. Пусть \mathcal{U} — совокупность всех шаров в X, a l(A)=(\mathrm{diam}\,A)^\alpha, где α > 0. Тогда соответствующая мера λ будет называться α-мерой Хаусдорфа. При α = 1 такая мера будет называться линейной мерой Хаусдорфа, а при α = 2 — плоской мерой Хаусдорфа.
  2. Если X=\R^{n+1}\mathcal{U} — совокупность цилиндров с шаровыми основаниями и осями, параллельными направлению оси xn + 1 и l(A) равна n-мерному объёму осевого сечения цилиндра A\in\mathcal{U}, то соответствующая мера Хаусдорфа называется цилиндрической мерой.

[править]Литература

[править]Примечания

  1.  Hausdorff, F. Mathematische Annalen. — 1918. — Bd 79. — S. 157—179.



Comments