Math‎ > ‎Хаусдорф‎ > ‎

Размерность

http://ru.wikipedia.org/wiki/Размерность_Хаусдорфа

Размерность Хаусдорфа

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Размерность Хаусдорфа — естественный способ определить размерность множества в метрическом пространстве. Размерность Хаусдорфа согласуется с нашими обычными представлениями о размерности в тех случаях, когда эти обычные представления есть. Например, в трёхмерном евклидовом пространстве хаусдорфова размерность конечного множества равна нулю, размерность гладкой кривой — единице, размерность гладкой поверхности — двум и размерность множества ненулевого объёма — трём. Для фрактальных множеств размерность Хаусдорфа может принимать дробные значения.

Содержание

 [убрать]

[править]Определение

Определение размерности Хаусдорфа непросто и состоит из нескольких шагов. Пусть Ω — ограниченное множество в метрическом пространстве X.

[править]\varepsilon-покрытия

Пусть \varepsilon>0. Не более чем счётный набор \{\omega_i\}_{i\in I} подмножеств пространства X будем называть \varepsilon-покрытием множества Ω, если выполнены следующие два свойства:

  • \Omega \subset \bigcup_{i\in I}\omega_i
  • для любого i\in I|\omega_i|<\varepsilon (здесь и далее | ω | означает диаметр множества ω).

[править]α-мера Хаусдорфа

Пусть α > 0. Пусть \Theta=\{\omega_i\}_{i\in I} — покрытие множества Ω. Определим следующую функцию, в некотором смысле показывающую «размер» этого покрытия: F_\alpha(\Theta):=\sum\limits_{i\in I} |\omega_i|^\alpha.

Обозначим через M^{\varepsilon}_{\alpha}(\Omega) «минимальный размер» {\varepsilon}-покрытия множества ΩM^{\varepsilon}_{\alpha}(\Omega) := \inf(F_\alpha(\Theta)), где инфимум берётся по всем \varepsilon-покрытиям множества Ω.

Очевидно, что функция M^{\varepsilon}_{\alpha}(\Omega)  (нестрого) возрастает при уменьшении \varepsilon, поскольку при уменьшении \varepsilon мы только сжимаем множество возможных \varepsilon-покрытий. Следовательно, у неё есть конечный или бесконечный предел при \varepsilon\rightarrow 0+:

M_{\alpha}(\Omega)=\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0+}M^{\varepsilon}_{\alpha}(\Omega) .

Величина Mα(Ω) называется α-мерой Хаусдорфа множества Ω.

[править]Свойства α-меры Хаусдорфа

  • α-мера Хаусдорфа является борелевской мерой на X.
  • с точностью до умножения на коэффициент: 1-мера Хаусдорфа для гладких кривых совпадает с их длиной; 2-мера Хаусдорфа для гладких поверхностей совпадает с их площадью; d-мера Хаусдорфа множеств в \mathbb{R}^dсовпадает с их d-мерным объёмом.
  • Mα(Ω) убывает по α. Более того, для любого множества Ω существует критическое значение α0, такое, что:
    • Mα(Ω) = 0 для всех α > α0
    • M_{\alpha}(\Omega)=+\infty  для всех α < α0

Значение M_{\alpha_0}(\Omega) может быть нулевым, конечным положительным или бесконечным.

[править]Определение размерности Хаусдорфа

Размерностью Хаусдорфа множества Ω называется число α0 из предыдущего пункта.

[править]Свойства размерности Хаусдорфа

  • Размерность Хаусдорфа любого множества не превосходит нижней и верхней размерностей Минковского.
  • Размерность Хаусдорфа не более чем счётного объединения множеств равна макcимуму из их размерностей. В частности, добавление счётного множества к любому множеству не меняет его размерности.
  • Для самоподобных множеств размерность Хаусдорфа может быть вычислена явно. Неформально говоря, если множество разбивается на n частей, подобных исходному множеству с коэффициентами r_1,r_2,\dots,r_n, то его размерность s является решением уравнения r_1^s+r_2^s+\dots+r_n^s = 1. Например, размерностьмножества Кантора равна ln2 / ln3 (разбивается на две части, коэффициент подобия 1/3), а размерностьтреугольника Серпинского — ln3 / ln2 (разбивается на 3 части, коэффициент подобия 1/2).

[править]См. также

[править]Литература

  • Федер Е. Фракталы. — М.: МИР, 1991. — С. 254. — ISBN 5-03-001712-7


Comments