Континуум-гипотеза

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В 1877 году Георг Кантор выдвинул и впоследствии безуспешно пытался доказать так называемую конти́нуум-гипо́тезу, которую можно сформулировать следующим образом:

Континуум-гипотеза стала первой из двадцати трёх математических проблем, о которых Гильберт доложил на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Поэтому континуум-гипотеза известна также как первая проблема Гильберта.

В 1940 году Гёдель доказал в расширенной теории, полученной присоединением к системе аксиом Цермело — Френкеля (ZFC) аксиомы о непротиворечивости ZFC, что отрицание континуум-гипотезы недоказуемо в ZFC; а в1963 году Коэн доказал в той же теории, что континуум-гипотеза недоказуема в ZFC. Таким образом, континуум-гипотеза не зависит от аксиом ZFC. Вопрос о независимости континуум-гипотезы от аксиом использовавшейся Гёделем и Коэном расширенной теории остается открытым.

Разделение по отрицанию или подтверждению континуум-гипотезы привело к созданию так называемой канторовской теории множеств, которая считает, что мощность множества вещественных чисел или континуума  равна  и неканторовской теории множеств, в которой это неверно. В последнем случае можно доказать, что между c и  заключено бесконечно много кардинальных чисел.

[править]Вариации и обобщения

Обобщённая континуум-гипотеза утверждает, что для любого бесконечного множества S не существует таких множеств, кардинальное число которых больше, чем у S, но меньше, чем у множества всех его подмножеств 2^S.

Обобщённая континуум-гипотеза также не противоречит аксиоматике Цермело — Френкеля, и, как показали Серпинский в 1947 г. и Шпеккер в 1952 г., из неё следует аксиома выбора.

[править]Ссылки

• Континуум-гипотеза БСЭ