Math‎ > ‎

континуум-гипотез

http://ru.wikipedia.org/wiki/Континуум-гипотеза

Континуум-гипотеза

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В 1877 году Георг Кантор выдвинул и впоследствии безуспешно пытался доказать так называемую конти́нуум-гипо́тезу, которую можно сформулировать следующим образом:

Любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным.

Континуум-гипотеза стала первой из двадцати трёх математических проблем, о которых Гильберт доложил на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Поэтому континуум-гипотеза известна также как первая проблема Гильберта.

В 1940 году Гёдель доказал в расширенной теории, полученной присоединением к системе аксиом Цермело — Френкеля (ZFC) аксиомы о непротиворечивости ZFC, что отрицание континуум-гипотезы недоказуемо в ZFC; а в1963 году Коэн доказал в той же теории, что континуум-гипотеза недоказуема в ZFC. Таким образом, континуум-гипотеза не зависит от аксиом ZFC. Вопрос о независимости континуум-гипотезы от аксиом использовавшейся Гёделем и Коэном расширенной теории остается открытым.

Разделение по отрицанию или подтверждению континуум-гипотезы привело к созданию так называемой канторовской теории множеств, которая считает, что мощность множества вещественных чисел или континуума \mathbf{c}=2^{\aleph_0} равна \aleph_1 и неканторовской теории множеств, в которой это неверно. В последнем случае можно доказать, что между c и \aleph_1 заключено бесконечно много кардинальных чисел.

[править]Вариации и обобщения

Обобщённая континуум-гипотеза утверждает, что для любого бесконечного множества S не существует таких множеств, кардинальное число которых больше, чем у S, но меньше, чем у множества всех его подмножеств 2S.

Обобщённая континуум-гипотеза также не противоречит аксиоматике Цермело — Френкеля, и, как показали Серпинский в 1947 г. и Шпеккер в 1952 г., из неё следует аксиома выбора.

[править]Ссылки


[скрыть]
п·о·р
Проблемы Гильберта
1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 17 · 18 · 19 · 20 · 21 · 22 · 23



Comments