Порядковое число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Порядковое число, или трансфинитное число, или ординал в теории множеств — некоторое обобщение понятия натурального числа «за пределы бесконечности». Впервые введены Георгом Кантором в 1897 году с целью классификации вполне упорядоченных множеств. Играют ключевую роль в доказательстве многих теоремтеории множеств, в особенности в связи со связанным с ними принципом трансфинитной индукции.

[править]Определение

Порядковые числа допускают различные варианты в том или ином смысле эквивалентных определений. Одна из современных формулировок определения порядкового числа по фон Нейману выглядит следующим образом:

• Назовём множество транзитивным, если каждый элемент x является подмножеством x: .
• Удовлетворяющее аксиоме фундирования множество называется ординалом, или порядковым числом, если оно само и каждый его элемент транзитивны: .

Заметим, что аксиома фундирования существенно используется в этом определении, что необходимо учитывать при работе с аксиоматическими системами, отличными от системы Цермело — Френкеля.

[править]Свойства

• Если α — порядковое число, то каждый элемент α — порядковое число.
•  — порядковое число.
• Если α — порядковое число, то  — порядковое число (терм  обозначают при этом как α + 1). Ординалы, совпадающие с α + 1 для некоторого α, называются непредельными ординалами, в отличие отпредельных.
• Множество натуральных чисел ω — порядковое число, множества  — порядковые числа.
• Всякое множество x порядковых чисел вполне упорядочено по отношению , при этом  — наименьший элемент любого множества порядковых чисел,  — порядковое число, большее или равное любому из чисел во множестве x.
• Не существует множества всех порядковых чисел. Иначе говоря, совокупность всех порядковых чисел является собственно классом.

[править]Арифметика ординалов

1. Сравнение: для любых двух ординалов α и β какой-то из них больше или равен другого.
2. Сложение ординалов не коммутативно. В частности, 1 + ω не равно ω + 1, хотя бы потому, что 1 + ω = ω.
3. Сложение ординалов ассоциативно, то есть α + (β + γ) = (α + β) + γ.

[править]См. также

• Кардинальное число

[править]Литература

Это незавершённая статья по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.