Math‎ > ‎

ординал

http://ru.wikipedia.org/wiki/Порядковое_число

Порядковое число

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Порядковое число, или трансфинитное число, или ординал в теории множеств — некоторое обобщение понятия натурального числа «за пределы бесконечности». Впервые введены Георгом Кантором в 1897 году с целью классификации вполне упорядоченных множеств. Играют ключевую роль в доказательстве многих теоремтеории множеств, в особенности в связи со связанным с ними принципом трансфинитной индукции.

Содержание

 [убрать]

[править]Определение

Порядковые числа допускают различные варианты в том или ином смысле эквивалентных определений. Одна из современных формулировок определения порядкового числа по фон Нейману выглядит следующим образом:

  • Назовём множество транзитивным, если каждый элемент x является подмножеством x\mathrm{Trans}(x)\Leftrightarrow\forall t(t\in x\to t\subseteq x).
  • Удовлетворяющее аксиоме фундирования множество называется ординалом, или порядковым числом, если оно само и каждый его элемент транзитивны: \mathrm{Ord}(x)\Leftrightarrow\mathrm{Trans}(x)\wedge\forall t(t\in x\to\mathrm{Trans}(t)).

Заметим, что аксиома фундирования существенно используется в этом определении, что необходимо учитывать при работе с аксиоматическими системами, отличными от системы Цермело — Френкеля.

[править]Свойства

  • Если α — порядковое число, то каждый элемент α — порядковое число.
  • \varnothing — порядковое число.
  • Если α — порядковое число, то \alpha\cup\{\alpha\} — порядковое число (терм \alpha\cup\{\alpha\} обозначают при этом как α + 1). Ординалы, совпадающие с α + 1 для некоторого α, называются непредельными ординалами, в отличие отпредельных.
  • Множество натуральных чисел ω — порядковое число, множества \omega+1,\;\omega+2,\;\omega+\omega,\;\ldots — порядковые числа.
  • Всякое множество x порядковых чисел вполне упорядочено по отношению \in, при этом \bigcap x — наименьший элемент любого множества порядковых чисел, \bigcup x — порядковое число, большее или равное любому из чисел во множестве x.
  • Не существует множества всех порядковых чисел. Иначе говоря, совокупность всех порядковых чисел является собственно классом.

[править]Арифметика ординалов

  1. Сравнение: для любых двух ординалов α и β какой-то из них больше или равен другого.
  2. Сложение ординалов не коммутативно. В частности, 1 + ω не равно ω + 1, хотя бы потому, что 1 + ω = ω.
  3. Сложение ординалов ассоциативно, то есть α + (β + γ) = (α + β) + γ.

[править]См. также

[править]Литература

ФормулаЭто незавершённая статья по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.



Comments